ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — тригонометрия

Заметим, что $\sqrt{200}=\sqrt{4\cdot 50}=2\sqrt{50}$, поэтому вынесем $\sqrt{50}$ за скобку:

$$\sqrt{50}-\sqrt{200}{\sin }^2\frac{13\pi }{8}=\sqrt{50}-2\sqrt{50}{\sin }^2\frac{13\pi }{8}=\sqrt{50}\left(1-2{\sin }^2\frac{13\pi }{8}\right).$$

По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ выражение в скобке равно $\cos \frac{13\pi }{4}$:

$$\sqrt{50}\left(1-2{\sin }^2\frac{13\pi }{8}\right)=\sqrt{50}\cos \frac{13\pi }{4}.$$

Угол $\frac{13\pi }{4}$ отличается от $\frac{5\pi }{4}$ на полный оборот $2\pi =\frac{8\pi }{4}$, значит их косинусы равны: $\cos \frac{13\pi }{4}=\cos \frac{5\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Остаётся вычислить:

$$\sqrt{50}\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{\sqrt{100}}{2}=-\frac{10}{2}=-5.$$

Ответ: $-5$.