ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — тригонометрия

Преобразуем знаменатель по формуле синуса двойного угла $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$ при $\alpha =\frac{\pi }{11}$:

$$5\sin \frac{2\pi }{11}=5\cdot 2\sin \frac{\pi }{11}\cos \frac{\pi }{11}=10\sin \frac{\pi }{11}\cos \frac{\pi }{11}.$$

Для числителя воспользуемся формулой приведения: угол $\frac{13\pi }{22}=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{11}$, а косинус суммы $\frac{\pi }{2}$ и угла переходит в минус синус этого угла:

$$\cos \frac{13\pi }{22}=\cos \left(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{11}\right)=-\sin \frac{\pi }{11}.$$

Подставим обе формулы в исходную дробь:

$$\frac{\cos \frac{\pi }{11}\cdot \cos \frac{13\pi }{22}}{5\sin \frac{2\pi }{11}}=\frac{\cos \frac{\pi }{11}\cdot \left(-\sin \frac{\pi }{11}\right)}{10\sin \frac{\pi }{11}\cos \frac{\pi }{11}}.$$

Сократим общий множитель $\sin \frac{\pi }{11}\cos \frac{\pi }{11}$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{-1}{10}=-0,1.$$

Ответ: -0,1.