ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — тригонометрия

Вынесем общий множитель $4\sqrt{3}$:

$$4\sqrt{3}{\cos }^2\frac{23\pi }{12}-4\sqrt{3}{\sin }^2\frac{23\pi }{12}=4\sqrt{3}\left({\cos }^2\frac{23\pi }{12}-{\sin }^2\frac{23\pi }{12}\right).$$

По формуле косинуса двойного угла $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$ при $\alpha =\frac{23\pi }{12}$:

$${\cos }^2\frac{23\pi }{12}-{\sin }^2\frac{23\pi }{12}=\cos \left(2\cdot \frac{23\pi }{12}\right)=\cos \frac{23\pi }{6}.$$

Приведём угол к табличному: $\frac{23\pi }{6}=4\pi -\frac{\pi }{6}$, а косинус периодичен с периодом $2\pi$ (поэтому $4\pi$ можно отбросить) и чётен ($\cos (-x)=\cos x$):

$$\cos \frac{23\pi }{6}=\cos \left(4\pi -\frac{\pi }{6}\right)=\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)=\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Подставим в выражение:

$$4\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4\cdot 3}{2}=6.$$

Ответ: 6.