Найдите значение выражения log_a(a³b¹⁴), если log_b a=-2 — 8 задание ЕГЭ профиль

№8 Логарифмы средняя 2026

Найдите значение выражения $lo g_{a} (a^{3} b^{14}),$ если $lo g_{b} a = - 2.$

Разбор — 1 балл

Разложим логарифм произведения по свойству $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ :

$lo g_{a} (a^{3} b^{14}) = lo g_{a} a^{3} + lo g_{a} b^{14} .$

По свойству логарифма степени $lo g_{a} a^{n} = n$ и $lo g_{a} b^{14} = 14 lo g_{a} b$ :

$lo g_{a} a^{3} + lo g_{a} b^{14} = 3 + 14 lo g_{a} b .$

Логарифмы $lo g_{a} b$ и $lo g_{b} a$ взаимно обратны: $lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}$ . По условию $lo g_{b} a = - 2$ , поэтому

$lo g_{a} b = \frac{1}{- 2} = - 0, 5.$

Подставим:

$3 + 14 \cdot (- 0, 5) = 3 - 7 = - 4.$

Ответ: -4.

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — логарифмы