ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — тригонометрия

Вынесем общий множитель $3\sqrt{3}$:

$$3\sqrt{3}-6\sqrt{3}{\sin }^2\frac{13\pi }{12}=3\sqrt{3}\left(1-2{\sin }^2\frac{13\pi }{12}\right).$$

По формуле косинуса двойного угла $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$ при $\alpha =\frac{13\pi }{12}$ получаем:

$$1-2{\sin }^2\frac{13\pi }{12}=\cos \left(2\cdot \frac{13\pi }{12}\right)=\cos \frac{13\pi }{6}.$$

Угол $\frac{13\pi }{6}$ отличается от $\frac{\pi }{6}$ на полный оборот: $\frac{13\pi }{6}=2\pi +\frac{\pi }{6}$, а косинус периодичен с периодом $2\pi$, поэтому

$$\cos \frac{13\pi }{6}=\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Подставим в выражение:

$$3\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\cdot 3}{2}=\frac{9}{2}=4,5.$$

Ответ: 4,5.