ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — тригонометрия

Воспользуемся формулами приведения. Так как $7\pi$ — нечётное число $\pi$, а синус периодичен с периодом $2\pi$, можно отбросить $6\pi =3\cdot 2\pi$:

$$\sin (\alpha -7\pi )=\sin (\alpha -\pi -6\pi )=\sin (\alpha -\pi )=-\sin \alpha .$$

Для второго слагаемого используем формулу приведения для угла $\frac{3\pi }{2}+\alpha$ (точка на окружности, соответствующая этому углу, смещена так, что косинус переходит в синус с плюсом):

$$\cos \left(\frac{3\pi }{2}+\alpha \right)=\sin \alpha .$$

Для знаменателя:

$$\sin (\alpha +\pi )=-\sin \alpha .$$

Подставим все три равенства в исходную дробь:

$$\frac{2\sin (\alpha -7\pi )+\cos \left(\frac{3\pi }{2}+\alpha \right)}{\sin (\alpha +\pi )}=\frac{2(-\sin \alpha )+\sin \alpha }{-\sin \alpha }=\frac{-\sin \alpha }{-\sin \alpha }=1.$$

Ответ: 1.