ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — тригонометрия

Заметим, что $6\alpha =2\cdot 3\alpha$, поэтому для $\sin 6\alpha$ можно применить формулу синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$ при $x=3\alpha$:

$$\sin 6\alpha =2\sin 3\alpha \cos 3\alpha .$$

Подставим это в исходную дробь:

$$\frac{10\sin 6\alpha }{3\cos 3\alpha }=\frac{10\cdot 2\sin 3\alpha \cos 3\alpha }{3\cos 3\alpha }.$$

Сократим $\cos 3\alpha$ в числителе и знаменателе (это допустимо, так как в знаменателе дроби стоит $\cos 3\alpha$, значит он не равен нулю):

$$\frac{20\sin 3\alpha \cos 3\alpha }{3\cos 3\alpha }=\frac{20\sin 3\alpha }{3}.$$

Подставим известное значение $\sin 3\alpha =0,6$:

$$\frac{20\cdot 0,6}{3}=\frac{12}{3}=4.$$

Ответ: 4.