ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — тригонометрия

Разложим аргумент: $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$. Тангенс периодичен с периодом $\pi$ (а значит, и $2\pi$), поэтому слагаемое $2\pi$ можно отбросить:

$$\mathrm{tg}\left(\alpha +\frac{5\pi }{2}\right)=\mathrm{tg}\left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right).$$

По формуле приведения $\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\mathrm{ctg}\alpha$, а так как $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }$:

$$\mathrm{tg}\left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=-\mathrm{ctg}\alpha =-\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }=-\frac{1}{0,4}=-2,5.$$

Ответ: $-2,5$.