ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №8 — тригонометрия

Заметим, что $113^{\circ }=90^{\circ }+23^{\circ }$, и применим формулу приведения $\cos (90^{\circ }+\alpha )=-\sin \alpha$:

$$\cos 113^{\circ }=\cos (90^{\circ }+23^{\circ })=-\sin 23^{\circ }.$$

Возведём обе части в квадрат — минус пропадает:

$${\cos }^{2}113^{\circ }={\sin }^{2}23^{\circ }.$$

Подставим это в знаменатель дроби и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$:

$${\cos }^{2}23^{\circ }+{\cos }^{2}113^{\circ }={\cos }^{2}23^{\circ }+{\sin }^{2}23^{\circ }=1.$$

Значит, вся дробь равна $\frac{6}{1}=6$.

Ответ: $6$.