ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — логарифмические уравнения

Разбор — 1 балл

Основание логарифма в уравнении ${\log }_{x-5}49=2$ должно быть положительным и не равным единице:

$$x-5>0,x-5\ne 1,$$

то есть $x>5$, $x\ne 6$.

По определению логарифма:

$$\begin{gathered} (x-5{)}^2=49, \\ x-5=\pm 7. \end{gathered}$$

Получаем два значения:

$$x-5=7\Rightarrow x=12,x-5=-7\Rightarrow x=-2.$$

Проверим условия на основание: $x=12$ удовлетворяет $x>5$ и $x\ne 6$, а $x=-2$ не удовлетворяет условию $x>5$ и отбрасывается. Остаётся единственный корень.

Ответ: $12$.