ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — логарифмические уравнения

Разбор — 1 балл

В уравнении ${\log }_2(8+7x)={\log }_2(8+3x)+1$ область допустимых значений: $8+7x>0$ и $8+3x>0$, то есть $x>-\frac{8}{7}$ (это условие сильнее второго).

Запишем $1={\log }_{2}2$ и объединим логарифмы в правой части:

$${\log }_2(8+3x)+{\log }_{2}2={\log }_2(2(8+3x))={\log }_2(16+6x).$$

Уравнение принимает вид

$${\log }_2(8+7x)={\log }_2(16+6x).$$

Логарифмы с одинаковым основанием равны, когда равны аргументы:

$$\begin{gathered} 8+7x=16+6x, \\ x=8. \end{gathered}$$

Проверим область допустимых значений: $8>-\frac{8}{7}$ — условие выполнено.

Ответ: $8$.