ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — тригонометрические уравнения

Тангенс равен $-1$ в точке $-\frac{\pi }{4}$, а период тангенса равен $\pi$, поэтому общее решение уравнения $\mathrm{tg}\frac{\pi x}{4}=-1$ имеет вид

$$\frac{\pi x}{4}=-\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

Умножим обе части на $\frac{4}{\pi }$:

$$x=-1+4n,n\in \mathbb{Z}.$$

Нужен наибольший отрицательный корень, поэтому потребуем

$$-1+4n<0,n<\frac{1}{4}.$$

Наибольшее целое $n$, удовлетворяющее этому условию, — $n=0$, что даёт $x=-1$. При $n=1$ получаем $x=3>0$, а при $n=-1$ — $x=-5<-1$, то есть соседние значения только подтверждают, что $-1$ — наибольший отрицательный корень.

Ответ: $-1$.