ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — показательные уравнения

В уравнении $2,5^{2-3x}=0,16^{2x}$ запишем $2,5=\frac{5}{2}$ и $0,16=\frac{16}{100}=\frac{4}{25}={\left(\frac{2}{5}\right)}^2$. Тогда

$${\left(\frac{5}{2}\right)}^{2-3x}={\left({\left(\frac{2}{5}\right)}^2\right)}^{2x}={\left(\frac{2}{5}\right)}^{4x}.$$

Так как $\frac{2}{5}$ и $\frac{5}{2}$ — взаимно обратные числа, ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{4x}={\left(\frac{5}{2}\right)}^{-4x}$. Уравнение принимает вид

$${\left(\frac{5}{2}\right)}^{2-3x}={\left(\frac{5}{2}\right)}^{-4x}.$$

Приравниваем показатели:

$$\begin{gathered} 2-3x=-4x, \\ x=-2. \end{gathered}$$

Ответ: $-2$.