ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — иррациональные уравнения

Разбор — 1 балл

Квадратный корень принимает только неотрицательные значения, поэтому из уравнения $\sqrt{-x}=x+12$ следует $x+12⩾0$, то есть $x⩾-12$. Кроме того, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-x⩾0$, то есть $x⩽0$. Значит, искать корни нужно только среди $x\in [-12;0]$.

На этом множестве возведём обе части уравнения в квадрат:

$$-x=(x+12{)}^2=x^2+24x+144.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\begin{gathered} x^2+24x+144+x=0, \\ {x}^2+25x+144=0. \end{gathered}$$

Найдём дискриминант:

$$D=25^2-4\cdot 144=625-576=49,\sqrt{D}=7.$$

Корни:

$$x=\frac{-25\pm 7}{2};x_1=-9,x_2=-16.$$

Сравним оба значения с ограничением $x\in [-12;0]$: корень $-16$ в него не попадает и является посторонним, а корень $-9$ входит в этот промежуток. Значит, уравнение имеет единственный подходящий корень.

Ответ: $-9$.