ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — логарифмические уравнения

Разбор — 1 балл

Аргументы логарифмов в уравнении ${\log }_5(x^2+2x)={\log }_5(x^2+10)$ должны быть положительными. Условие $x^2+10>0$ выполняется для любого $x$. Решим второе условие — $x^2+2x>0$, то есть $x(x+2)>0$:

Получаем $x<-2$ или $x>0$.

Логарифмы имеют одинаковое основание, поэтому равенство логарифмов означает равенство аргументов:

$$\begin{gathered} x^2+2x=x^2+10, \\ 2x=10, \\ x=5. \end{gathered}$$

Проверим область допустимых значений: значение $x=5$ удовлетворяет условию $x>0$, значит корень подходит.

Ответ: $5$.