ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — логарифмические уравнения

Разбор — 1 балл

ОДЗ уравнения: оба подлогарифмических выражения положительны, $5-2x>0$ (то есть $x<2,5$) и $1-4x>0$ (то есть $x<0,25$).

Представим число $1$ как логарифм: $1={\log }_{3}3$. Тогда правая часть становится суммой логарифмов с общим основанием, которую свернём в логарифм произведения:

$${\log }_3(5-2x)={\log }_3(1-4x)+{\log }_{3}3={\log }_3(3(1-4x))={\log }_3(3-12x).$$

Логарифмическая функция монотонна, поэтому равенство логарифмов с одинаковым основанием даёт равенство аргументов:

$$5-2x=3-12x.$$

Отсюда $10x=-2$, значит $x=-0,2$.

Проверим ОДЗ: $x=-0,2<0,25$ и $x=-0,2<2,5$ — оба условия выполнены, корень подходит.

Ответ: $-0,2$.