ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — тригонометрические уравнения

Разбор — 1 балл

Уравнение $\cos t=\frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет решения $t=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$. Подставим $t=\frac{\pi (2x-6)}{6}$:

$$\frac{\pi (2x-6)}{6}=\frac{\pi }{6}+2\pi k\text{или}\frac{\pi (2x-6)}{6}=-\frac{\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Умножим обе части на $\frac{6}{\pi }$:

$$2x-6=1+12k\text{или}2x-6=-1+12k,k\in \mathbb{Z}.$$

Выразим $x$:

$$x=\frac{7+12k}{2}\text{или}x=\frac{5+12k}{2},k\in \mathbb{Z}.$$

Переберём целые $k$ и найдём наибольшее отрицательное значение в каждой серии. В первой серии при $k=-1$ получаем $x=\frac{7-12}{2}=-\frac{5}{2}$, а при $k=0$ значение $x=\frac{7}{2}$ уже положительно — значит $-\frac{5}{2}$ наибольшее отрицательное в этой серии. Во второй серии при $k=-1$ получаем $x=\frac{5-12}{2}=-\frac{7}{2}$, а при $k=0$ значение $x=\frac{5}{2}$ уже положительно — значит $-\frac{7}{2}$ наибольшее отрицательное в этой серии.

Сравним два найденных значения: $-\frac{5}{2}=-2,5$ и $-\frac{7}{2}=-3,5$. Ближе к нулю (то есть больше) значение $-2,5$.

Ответ: $-2,5$.