ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — логарифмические уравнения

Разбор — 1 балл

ОДЗ: подлогарифмическое выражение положительно, $5x-5>0$, то есть $x>1$.

Представим основание степени как $3=9^{1/2}$ (ведь $9^{1/2}=\sqrt{9}=3$). Тогда

$$3^{{\log }_9(5x-5)}={\left(9^{1/2}\right)}^{{\log }_9(5x-5)}=9^{\frac{1}{2}{\log }_9(5x-5)}.$$

По свойству логарифма степени показатель $\frac{1}{2}{\log }_9(5x-5)$ равен ${\log }_9\sqrt{5x-5}$. Значит,

$$9^{{\log }_9\sqrt{5x-5}}=5.$$

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{{\log }_{a}b}=b$: левая часть равна просто $\sqrt{5x-5}$. Получаем

$$\sqrt{5x-5}=5.$$

Возведём обе части в квадрат: $5x-5=25$, отсюда $5x=30$, значит $x=6$.

Проверим ОДЗ: $x=6>1$ — подходит.

Ответ: $6$.