ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — тригонометрические уравнения

Разбор — 1 балл

Уравнение $\cos t=\frac{1}{2}$ имеет решения $t=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$ (косинус принимает значение $\frac{1}{2}$ в двух точках окружности, симметричных относительно горизонтальной оси). Подставим $t=\frac{\pi (8x+8)}{3}$:

$$\frac{\pi (8x+8)}{3}=\frac{\pi }{3}+2\pi k\text{или}\frac{\pi (8x+8)}{3}=-\frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Умножим обе части на $\frac{3}{\pi }$:

$$8x+8=1+6k\text{или}8x+8=-1+6k,k\in \mathbb{Z}.$$

Выразим $x$:

$$x=\frac{-7+6k}{8}\text{или}x=\frac{-9+6k}{8},k\in \mathbb{Z}.$$

Переберём целые $k$ и найдём наименьшее положительное значение в каждой серии. В первой серии при $k=2$ получаем $x=\frac{-7+12}{8}=\frac{5}{8}$, а при $k=1$ значение $x=-\frac{1}{8}$ уже отрицательно — значит $\frac{5}{8}$ наименьшее положительное в этой серии. Во второй серии при $k=2$ получаем $x=\frac{-9+12}{8}=\frac{3}{8}$, а при $k=1$ значение $x=-\frac{3}{8}$ отрицательно — значит $\frac{3}{8}$ наименьшее положительное в этой серии.

Сравним два найденных значения: $\frac{5}{8}=0,625$ и $\frac{3}{8}=0,375$. Меньшее из них — $0,375$.

Ответ: $0,375$.