Решите уравнение log₂(x+5)=log₄(1-x). Если уравнение имеет больше… — 7 задание ЕГЭ профиль

№7 Логарифмические уравнения средняя 2026

Решите уравнение $lo g_{2} (x + 5) = lo g_{4} (1 - x) .$

Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Разбор — 1 балл

ОДЗ уравнения: оба подлогарифмических выражения положительны, $x + 5 > 0$ и $1 - x > 0$ , то есть $- 5 < x < 1$ .

Воспользуемся переходом к другому основанию логарифма $lo g_{a^{k}} b = \frac{1}{k} lo g_{a} b$ . Так как $4 = 2^{2}$ , получаем

$lo g_{4} (1 - x) = \frac{1}{2} lo g_{2} (1 - x) = lo g_{2} 1 - x .$

Уравнение принимает вид $lo g_{2} (x + 5) = lo g_{2} 1 - x$ . Логарифмическая функция монотонна, поэтому равны аргументы:

$x + 5 = 1 - x .$

Левая часть равна корню, значит она неотрицательна: $x + 5 ⩾ 0$ (это условие выполняется в пределах уже найденной ОДЗ). Возведём обе части в квадрат:

$(x + 5)^{2} = 1 - x,$

$x^{2} + 10 x + 25 = 1 - x,$

$x^{2} + 11 x + 24 = 0.$

По теореме Виета ищем числа с суммой $- 11$ и произведением $24$ — это $- 3$ и $- 8$ . Значит, $x = - 3$ или $x = - 8$ .

Проверим ОДЗ $- 5 < x < 1$ : значение $x = - 3$ подходит, а $x = - 8$ не подходит, так как оно меньше $- 5$ . Значит, единственный корень $x = - 3$ .

Ответ: $- 3$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — логарифмические уравнения