ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — рациональные уравнения

Разбор — 1 балл

ОДЗ: оба знаменателя не равны нулю, $5x+7\ne 0$ и $7x+5\ne 0$, то есть $x\ne -\frac{7}{5}$ и $x\ne -\frac{5}{7}$.

Уравнение $\frac{x+8}{5x+7}=\frac{x+8}{7x+5}$ имеет один и тот же числитель в обеих частях. Если числитель равен нулю, то обе части автоматически равны нулю независимо от знаменателей (которые при этом не равны нулю):

$$x+8=0\Rightarrow x=-8.$$

Знаменатели при этом $5\cdot (-8)+7=-33$ и $7\cdot (-8)+5=-51$ — оба не нули, корень подходит.

Если же $x+8\ne 0$, можно разделить обе части на $x+8$ — получится равенство дробей с единичным числителем, то есть равенство знаменателей:

$$5x+7=7x+5.$$

Отсюда $2=2x$, значит $x=1$. При этом знаменатели равны $12$ и не равны нулю, а $x+8=9\ne 0$ — корень подходит.

По условию запишем больший из найденных корней $-8$ и $1$ — это $1$.

Ответ: $1$.