ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — логарифмические уравнения

Разбор — 1 балл

ОДЗ уравнения: оба подлогарифмических выражения положительны, $7+6x>0$ и $1+x>0$.

Представим число $2$ как логарифм по основанию $4$: $2={\log }_{4}16$ (ведь $4^2=16$). Тогда правая часть становится суммой логарифмов с общим основанием, которую свернём в логарифм произведения:

$${\log }_4(7+6x)={\log }_4(1+x)+{\log }_{4}16={\log }_4(16(1+x))={\log }_4(16+16x).$$

Логарифмическая функция монотонна, поэтому равенство логарифмов с одинаковым основанием даёт равенство аргументов:

$$7+6x=16+16x.$$

Перенесём слагаемые с $x$ влево, числа — вправо: $-10x=9$, значит $x=-0,9$.

Проверим ОДЗ: $1+(-0,9)=0,1>0$ и $7+6\cdot (-0,9)=7-5,4=1,6>0$ — оба условия выполнены, корень подходит.

Ответ: $-0,9$.