ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — логарифмические уравнения

Разбор — 1 балл

ОДЗ уравнения: оба подлогарифмических выражения должны быть положительны, $6+7x>0$ и $4+x>0$.

Представим число $1$ как логарифм: $1={\log }_{5}5$. Тогда правая часть становится суммой логарифмов с одним основанием, которую можно свернуть в логарифм произведения по свойству ${\log }_{a}m+{\log }_{a}n={\log }_a(mn)$:

$${\log }_5(6+7x)={\log }_5(4+x)+{\log }_{5}5={\log }_5(5(4+x))={\log }_5(20+5x).$$

Логарифмическая функция монотонна, поэтому равенство логарифмов с одинаковым основанием даёт равенство аргументов:

$$6+7x=20+5x.$$

Отсюда $2x=14$, значит $x=7$.

Проверим ОДЗ: $6+7\cdot 7=55>0$ и $4+7=11>0$ — оба условия выполнены, корень подходит.

Ответ: $7$.