ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — показательные уравнения

Представим все числа в уравнении как степени тройки: $27=3^3$, $\frac{1}{3}=3^{-1}$, $9=3^2$. Уравнение $27\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{3-x}=9^x$ переписывается как

$$3^3\cdot 3^{-(3-x)}=3^{2x}.$$

По свойству степеней при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $3^3\cdot 3^{-(3-x)}=3^{3-(3-x)}=3^x$. Получаем

$$3^x=3^{2x}.$$

Основания равны и больше единицы, значит равны и показатели: $x=2x$, отсюда $x=0$.

Ответ: $0$.