ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — тригонометрические уравнения

Разбор — 1 балл

Запишем $0,5$ как обычную дробь: $\sin \frac{\pi x}{3}=\frac{1}{2}$.

Уравнение $\sin t=\frac{1}{2}$ имеет две серии решений: $t=\frac{\pi }{6}+2\pi n$ или $t=\frac{5\pi }{6}+2\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$ (второе значение получается из первого, ведь синус принимает одинаковые значения в точках, симметричных относительно $\pi /2$).

Подставим $t=\frac{\pi x}{3}$:

$$\frac{\pi x}{3}=\frac{\pi }{6}+2\pi n\text{или}\frac{\pi x}{3}=\frac{5\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

Умножим обе части на $\frac{3}{\pi }$:

$$x=\frac{1}{2}+6n\text{или}x=\frac{5}{2}+6n,n\in \mathbb{Z}.$$

При $n=0$ получаем $x=\frac{1}{2}$ и $x=\frac{5}{2}$ — оба положительны. При увеличении $n$ каждое значение растёт ещё на $6$, при уменьшении — становится отрицательным. Значит, среди всех корней наименьший положительный — это $x=\frac{1}{2}=0,5$.

Ответ: $0,5$.