ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — показательные уравнения

Заметим, что $0,125=\frac{1}{8}=2^{-3}$, а $4=2^2$. Перепишем обе части уравнения как степени числа $2$, используя свойство степени $(a^m{)}^n=a^{mn}$.

$$(0,125{)}^{x+5}={\left(2^{-3}\right)}^{x+5}=2^{-3x-15},4^{x+4}={\left(2^2\right)}^{x+4}=2^{2x+8}.$$

Уравнение принимает вид $2^{-3x-15}=2^{2x+8}$. Показательная функция с основанием $2>1$ строго монотонна, поэтому равенство степеней с одинаковым основанием означает равенство показателей:

$$-3x-15=2x+8.$$

Перенесём слагаемые с $x$ в одну сторону, числа — в другую: $-5x=23$, значит $x=-\frac{23}{5}=-4,6$.

Ответ: $-4,6$.