ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — тригонометрические уравнения

Разбор — 1 балл

Обозначим $t=\frac{\pi (x-7)}{3}$. Уравнение $\cos t=\frac{1}{2}$ имеет решения

$$t=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z},$$

так как косинус принимает значение $\frac{1}{2}$ в точках $\pm \frac{\pi }{3}$ на единичной окружности, а период косинуса равен $2\pi$.

Подставим выражение для $t$:

$$\frac{\pi (x-7)}{3}=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n.$$

Сократим обе части на $\pi$:

$$\frac{x-7}{3}=\pm \frac{1}{3}+2n.$$

Умножим на 3:

$$x-7=\pm 1+6n.$$

Получаем две серии корней:

$$x=8+6n\text{и}x=6+6n,n\in \mathbb{Z}.$$

Найдём наибольший отрицательный корень в каждой серии. В первой серии при $n=-2$ получаем $x=8-12=-4$, а при $n=-1$ получаем $x=8-6=2$ — это уже положительное число, значит $-4$ — ближайший к нулю отрицательный корень этой серии.

Во второй серии при $n=-2$ получаем $x=6-12=-6$, а при $n=-1$ получаем $x=6-6=0$ — это не отрицательное число, значит $-6$ — ближайший к нулю отрицательный корень этой серии.

Сравним два найденных значения: $-4>-6$, поэтому наибольший отрицательный корень всего уравнения равен $-4$.

Ответ: $-4$.