ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — линейные, квадратные и кубические уравнения

Разбор — 1 балл

У уравнения $(7-4x{)}^2=(2x+5{)}^2$ обе части — квадраты некоторых выражений. Извлечём квадратный корень из обеих частей: при этом корень из квадрата числа равен модулю этого числа, поэтому

$$|7-4x|=|2x+5|.$$

Равенство модулей двух выражений означает, что сами выражения либо равны, либо противоположны по знаку — это даёт два случая.

Первый случай: выражения равны.

$$7-4x=2x+5.$$

Решаем:

$$\begin{gathered} 7-5=2x+4x, \\ 2=6x, \\ x=\frac{1}{3}. \end{gathered}$$

Второй случай: выражения противоположны.

$$\begin{gathered} 7-4x=-(2x+5), \\ 7-4x=-2x-5. \end{gathered}$$

Решаем:

$$\begin{gathered} 7+5=-2x+4x, \\ 12=2x, \\ x=6. \end{gathered}$$

Получили два корня: $\frac{1}{3}$ и $6$. По условию нужен наибольший — это $6$.

Ответ: $6$.