ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — логарифмические уравнения

Разбор — 1 балл

В уравнении $1+{\log }_5(2x+17)=2{\log }_5(x+1)$ запишем единицу как ${\log }_{5}5$ и объединим логарифмы в левой части по свойству суммы логарифмов:

$${\log }_{5}5+{\log }_5(2x+17)={\log }_5\left(5(2x+17)\right)={\log }_5(10x+85).$$

Правую часть по свойству $n{\log }_{a}b={\log }_a{b}^n$ перепишем как

$$2{\log }_5(x+1)={\log }_5(x+1{)}^2.$$

Уравнение принимает вид

$${\log }_5(10x+85)={\log }_5(x+1{)}^2.$$

Логарифм слева определён при $2x+17>0$, то есть $x>-8,5$, а логарифм справа — при $x+1>0$, то есть $x>-1$. Так как $x>-1$ строже, область допустимых значений — $x>-1$. На ней логарифмы с одинаковым основанием равны, когда равны аргументы:

$$10x+85=(x+1{)}^2.$$

Раскроем скобки и перенесём всё в одну сторону:

$$\begin{gathered} 10x+85=x^2+2x+1, \\ 0=x^2+2x+1-10x-85, \\ {x}^2-8x-84=0. \end{gathered}$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-8{)}^2-4\cdot 1\cdot (-84)=64+336=400,\sqrt{D}=20.$$

Корни:

$$x=\frac{8\pm 20}{2};x_1=\frac{28}{2}=14,x_2=\frac{-12}{2}=-6.$$

Проверим область допустимых значений $x>-1$: корень $-6$ не подходит, остаётся единственный корень $x=14$.

Ответ: $14$.