ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — иррациональные уравнения

Разбор — 1 балл

Переведём смешанное число в правой части уравнения $\sqrt{5x}=2\frac{1}{2}x$ в обычную дробь: $2\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$. Уравнение принимает вид $\sqrt{5x}=\frac{5}{2}x$.

Квадратный корень даёт только неотрицательные значения, поэтому правая часть должна быть неотрицательной:

$$\frac{5}{2}x⩾0,x⩾0.$$

На этом множестве возведём обе части в квадрат:

$$5x={\left(\frac{5}{2}x\right)}^2=\frac{25}{4}{x}^2.$$

Умножим обе части на 4:

$$20x=25x^2.$$

Перенесём всё в одну сторону и разложим на множители:

$$\begin{gathered} 25x^2-20x=0, \\ 5x(5x-4)=0. \end{gathered}$$

Отсюда $x=0$ или $5x=4$, то есть $x=\frac{4}{5}=0,8$. Оба значения неотрицательны, значит оба входят в область допустимых значений. По условию нужен больший корень — это $0,8$.

Ответ: $0,8$.