ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — логарифмические уравнения

Разбор — 1 балл

В уравнении ${\log }_2(2-x)={\log }_2(2-3x)+1$ запишем единицу как ${\log }_{2}2$ и объединим логарифмы в правой части по свойству суммы логарифмов:

$${\log }_2(2-3x)+{\log }_{2}2={\log }_2\left(2(2-3x)\right)={\log }_2(4-6x).$$

Уравнение принимает вид

$${\log }_2(2-x)={\log }_2(4-6x).$$

Логарифмы с одинаковым основанием равны, когда равны аргументы, при этом нужно сохранить условие положительности хотя бы одного из них (другое выполнится автоматически, так как аргументы равны):

$$\{\begin{array}{l}2-x=4-6x,\\ 2-x>0.\end{array}$$

Решаем уравнение системы:

$$\begin{gathered} -x+6x=4-2, \\ 5x=2, \\ x=0,4. \end{gathered}$$

Проверим второе условие: $2-0,4=1,6>0$ — выполняется.

Ответ: $0,4$.