ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — логарифмические уравнения

Разбор — 1 балл

В уравнении ${\log }_5(2x+3)={\log }_{0,2}(x+1)$ основание $0,2=5^{-1}$. По свойству ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$ при $k=-1$:

$${\log }_{0,2}(x+1)=-{\log }_5(x+1)={\log }_5\frac{1}{x+1}.$$

Уравнение принимает вид

$${\log }_5(2x+3)={\log }_5\frac{1}{x+1}.$$

Логарифмы с одинаковым основанием равны, когда равны их аргументы, поэтому дополнительно потребуем положительность одного из них (например, левого — тогда положительность правого обеспечится автоматически, так как они равны):

$$\{\begin{array}{l}2x+3=\frac{1}{x+1},\\ 2x+3>0.\end{array}$$

Умножим уравнение на $x+1$ (в области допустимых значений $x+1\ne 0$):

$$(2x+3)(x+1)=1.$$

Раскроем скобки:

$$\begin{gathered} 2x^2+2x+3x+3=1, \\ 2x^2+5x+2=0. \end{gathered}$$

Найдём дискриминант:

$$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9.$$

Корни:

$$x=\frac{-5\pm 3}{4};x_1=\frac{-8}{4}=-2,x_2=\frac{-2}{4}=-0,5.$$

Проверим условие $2x+3>0$, то есть $x>-1,5$: корень $-2$ не подходит, а корень $-0,5$ подходит. Так как условию удовлетворяет только один корень, он и есть ответ.

Ответ: $-0,5$.