ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — показательные уравнения

В уравнении $3\cdot 9^{x-1}=\frac{1}{27}$ представим все числа как степени тройки: $9=3^2$, $\frac{1}{27}=3^{-3}$. Получаем

$$\begin{gathered} 3^1\cdot {\left(3^2\right)}^{x-1}=3^{-3}, \\ {3}^1\cdot 3^{2x-2}=3^{-3}. \end{gathered}$$

Складываем показатели слева:

$$\begin{gathered} 3^{1+2x-2}=3^{-3}, \\ {3}^{2x-1}=3^{-3}. \end{gathered}$$

Приравниваем показатели:

$$\begin{gathered} 2x-1=-3, \\ 2x=-2, \\ x=-1. \end{gathered}$$

Ответ: $-1$.