ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — логарифмические уравнения

По свойству логарифма $n{\log }_{a}b={\log }_a{b}^n$ преобразуем правую часть уравнения ${\log }_5(5-x)=2{\log }_{5}3$:

$$2{\log }_{5}3={\log }_5{3}^2={\log }_{5}9.$$

Уравнение принимает вид

$${\log }_5(5-x)={\log }_{5}9.$$

Логарифмы с одинаковым основанием равны, значит, равны и аргументы:

$$\begin{gathered} 5-x=9, \\ -x=4, \\ x=-4. \end{gathered}$$

Проверим область допустимых значений: $5-x=9>0$ — условие выполнено.

Ответ: $-4$.