ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — логарифмические уравнения

Разбор — 1 балл

В уравнении ${\log }_5\frac{x}{2}={\log }_{0,2}(x+1)$ логарифм в правой части взят по основанию $0,2=\frac{1}{5}=5^{-1}$. По свойству ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$ при $k=-1$ получаем

$${\log }_{0,2}(x+1)={\log }_{5^{-1}}(x+1)=-{\log }_5(x+1).$$

Уравнение переписывается как

$${\log }_5\frac{x}{2}=-{\log }_5(x+1),$$

или, перенеся второй логарифм влево,

$${\log }_5\frac{x}{2}+{\log }_5(x+1)=0.$$

Сумма логарифмов с одинаковым основанием — это логарифм произведения:

$${\log }_5\left(\frac{x}{2}(x+1)\right)=0.$$

По определению логарифма отсюда следует, что выражение под логарифмом равно $5^0=1$:

$$\begin{gathered} \frac{x(x+1)}{2}=1, \\ x(x+1)=2, \\ {x}^2+x-2=0. \end{gathered}$$

Раскладываем на множители: $(x-1)(x+2)=0$, откуда $x=1$ или $x=-2$.

Проверим область допустимых значений: аргумент $\frac{x}{2}$ должен быть положительным, то есть $x>0$ (это условие сильнее, чем $x+1>0$). Корень $x=-2$ не подходит, остаётся единственный корень $x=1$.

Ответ: $1$.