ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — иррациональные уравнения

Разбор — 1 балл

У уравнения $\sqrt{3-2x}=2x+3$ есть два ограничения на область допустимых значений. Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$3-2x⩾0,x⩽1,5.$$

Во-вторых, квадратный корень всегда даёт неотрицательный результат, поэтому и правая часть уравнения обязана быть неотрицательной:

$$2x+3⩾0,x⩾-1,5.$$

Значит, искать корни нужно только среди $x\in [-1,5;1,5]$. На этом множестве возведём обе части уравнения в квадрат — такое преобразование равносильно, так как обе части неотрицательны:

$$3-2x=(2x+3{)}^2.$$

Раскроем скобки справа и перенесём все члены в одну сторону:

$$\begin{gathered} 3-2x=4x^2+12x+9, \\ 0=4x^2+12x+9-3+2x, \\ 4x^2+14x+6=0. \end{gathered}$$

Разделим уравнение на 2:

$$2x^2+7x+3=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=7^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25.$$

Корни:

$$x=\frac{-7\pm 5}{4};x_1=\frac{-12}{4}=-3,x_2=\frac{-2}{4}=-0,5.$$

Сравним оба значения с найденным ограничением $x\in [-1,5;1,5]$: корень $-3$ в него не попадает и является посторонним, а корень $-0,5$ входит в этот промежуток. Проверим его подстановкой: $\sqrt{3-2\cdot (-0,5)}=\sqrt{4}=2$, и правая часть $2\cdot (-0,5)+3=2$ — равенство верно.

Единственный подходящий корень — $-0,5$.

Ответ: $-0,5$.