ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — показательные уравнения

В уравнении $8\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{2-x}=4^x$ приведём каждое число к основанию 2: $8=2^3$, $\frac{1}{2}=2^{-1}$, $4=2^2$. Тогда

$$2^3\cdot {\left(2^{-1}\right)}^{2-x}={\left(2^2\right)}^x.$$

При возведении степени в степень показатели умножаются:

$$\begin{gathered} 2^3\cdot 2^{-(2-x)}=2^{2x}, \\ {2}^3\cdot 2^{x-2}=2^{2x}. \end{gathered}$$

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

$$\begin{gathered} 2^{3+x-2}=2^{2x}, \\ {2}^{x+1}=2^{2x}. \end{gathered}$$

Основания равны, значит, равны и показатели:

$$\begin{gathered} x+1=2x, \\ x=1. \end{gathered}$$

Ответ: $1$.