ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — иррациональные уравнения

Разбор — 1 балл

Левая часть уравнения — квадратный корень, значит она неотрицательна, поэтому и правая часть должна быть неотрицательной:

$$2-x⩾0\iff x⩽2.$$

При этом условии возведение обеих частей в квадрат даёт равносильное уравнение:

$$3x+22=(2-x{)}^2.$$

Раскроем квадрат справа:

$$3x+22=4-4x+x^2.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^2-4x-3x+4-22=0,$$

$$x^2-7x-18=0.$$

Найдём корни по дискриминанту: $D=(-7{)}^2+4\cdot 18=49+72=121$, $\sqrt{D}=11$, значит

$$x=\frac{7\pm 11}{2}\Rightarrow x=9\text{или}x=-2.$$

Проверим ограничение $x⩽2$: корень $x=9$ ему не удовлетворяет, подходит только $x=-2$. Проверка: $\sqrt{3\cdot (-2)+22}=\sqrt{16}=4$, а $2-(-2)=4$ — совпадает.

После отбора остался только один корень, он и является ответом.

Ответ: $-2$.