ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — иррациональные уравнения

Разбор — 1 балл

Переведём смешанное число в обычную дробь: $1\frac{2}{3}=\frac{3+2}{3}=\frac{5}{3}$. Уравнение принимает вид

$$\sqrt{15x}=\frac{5}{3}x.$$

Квадратный корень принимает только неотрицательные значения, поэтому правая часть тоже должна быть неотрицательной — это даёт ограничение $x⩾0$ (оно же гарантирует неотрицательность подкоренного выражения $15x$). Возведём обе части в квадрат:

$$\{\begin{array}{l}15x={\left(\frac{5}{3}x\right)}^2,\\ x⩾0.\end{array}$$

Раскроем квадрат:

$$15x=\frac{25}{9}{x}^2.$$

Умножим обе части на $9$:

$$135x=25x^2.$$

Разделим обе части на $5$:

$$27x=5x^2,$$

$$x(5x-27)=0.$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$$x=0\text{или}x=\frac{27}{5}=5,4.$$

Оба значения удовлетворяют условию $x⩾0$. По условию нужно указать больший из корней.

Ответ: $5,4$.