Найдите корень уравнения 2log₃(x+2)=1+log₃(4x+8). Если уравнение… — 7 задание ЕГЭ профиль

№7 Логарифмические уравнения средняя 2026

Найдите корень уравнения $2 lo g_{3} (x + 2) = 1 + lo g_{3} (4 x + 8) .$ Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Разбор — 1 балл

Запишем единицу как логарифм по основанию $3$ : $1 = lo g_{3} 3$ . Правую часть уравнения свернём в один логарифм по свойству $lo g_{a} m + lo g_{a} n = lo g_{a} (mn)$ :

$1 + lo g_{3} (4 x + 8) = lo g_{3} 3 + lo g_{3} (4 x + 8) = lo g_{3} (3 (4 x + 8)) = lo g_{3} (12 x + 24) .$

Левую часть преобразуем по свойству логарифма степени $n lo g_{a} b = lo g_{a} b^{n}$ :

$2 lo g_{3} (x + 2) = lo g_{3} (x + 2)^{2} .$

Уравнение принимает вид

$lo g_{3} (x + 2)^{2} = lo g_{3} (12 x + 24),$

а это равносильно системе: аргументы равны, и хотя бы один из них положителен (возьмём аргумент левого логарифма, то есть $x + 2$ ):

${(x + 2)^{2} = 12 x + 24, x + 2 > 0.$

Раскроем скобки в уравнении:

$x^{2} + 4 x + 4 = 12 x + 24,$

$x^{2} - 8 x - 20 = 0.$

Найдём корни по дискриминанту: $D = (- 8)^{2} + 4 \cdot 20 = 64 + 80 = 144$ , $D = 12$ , значит

$x = \frac{8 \pm 12}{2} \Rightarrow x = 10 или x = - 2.$

Проверим условие $x > - 2$ : корень $x = - 2$ ему не удовлетворяет (при этом значении $x + 2 = 0$ , логарифм не определён), а $x = 10$ подходит. Значит, уравнение имеет единственный допустимый корень.

Ответ: $10$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — логарифмические уравнения

Сообщить об ошибке

Ещё задания №7