ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — логарифмические уравнения

Разбор — 1 балл

Запишем ОДЗ — выражение под логарифмом обязано быть положительным:

$$5x+4>0\iff x>-0,8.$$

Основание $16=2^4$, поэтому ${\log }_{16}a=\frac{1}{4}{\log }_{2}a$. Перепишем левую часть уравнения:

$$2^{{\log }_{16}(5x+4)}=2^{\frac{1}{4}{\log }_2(5x+4)}={\left(2^{{\log }_2(5x+4)}\right)}^{\frac{1}{4}}.$$

По основному логарифмическому тождеству $a^{{\log }_{a}b}=b$ выражение в скобках равно $5x+4$, поэтому уравнение принимает вид

$$(5x+4{)}^{\frac{1}{4}}=5.$$

Возведём обе части в четвёртую степень:

$$5x+4=5^4=625,$$

$$5x=621,$$

$$x=124,2.$$

Проверим ОДЗ: $124,2>-0,8$ — выполняется, значит это искомый корень.

Ответ: $124,2$.