ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — логарифмические уравнения

Разбор — 1 балл

Запишем единицу как логарифм по основанию $5$: $1={\log }_{5}5$. Уравнение примет вид

$${\log }_5(2+5x)={\log }_5(1-5x)+{\log }_{5}5.$$

По свойству логарифма суммы ${\log }_{a}m+{\log }_{a}n={\log }_a(mn)$ свернём правую часть в один логарифм:

$${\log }_5(2+5x)={\log }_5(5(1-5x))={\log }_5(5-25x).$$

Равенство логарифмов с одинаковым основанием означает равенство аргументов, при этом нужно, чтобы аргумент хотя бы одной части был положителен — тогда положителен и другой, так как они равны:

$$\{\begin{array}{l}2+5x=5-25x,\\ 2+5x>0.\end{array}$$

Решим уравнение:

$$30x=3,$$

$$x=0,1.$$

Проверим условие: $2+5\cdot 0,1=2,5>0$ — выполняется.

Ответ: $0,1$.