ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №7 — показательные уравнения

Приведём обе части уравнения к одному основанию $2$, используя $4=2^2$ и $\frac{1}{2}=2^{-1}$:

$$4^{x-2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{3x+1}\iff {\left(2^2\right)}^{x-2}={\left(2^{-1}\right)}^{3x+1}.$$

По свойству степени $(a^m{)}^n=a^{mn}$ получаем

$$2^{2(x-2)}=2^{-(3x+1)},2^{2x-4}=2^{-3x-1}.$$

Показательная функция с основанием, большим единицы, монотонна, поэтому равенство степеней означает равенство показателей:

$$2x-4=-3x-1.$$

Перенесём неизвестные влево, числа — вправо:

$$2x+3x=-1+4,$$

$$5x=3,$$

$$x=\frac{3}{5}=0,6.$$

Ответ: $0,6$.