ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — вписанные тела

Центр сферы $O$ совпадает с центром основания конуса. Рассмотрим точку $A$ на окружности основания конуса и вершину конуса $B$: тогда $AB$ — образующая конуса, а $OA$ и $OB$ — радиусы сферы.

Так как $OB$ — высота конуса, перпендикулярная плоскости основания, $OB\perp OA$, и треугольник $AOB$ прямоугольный с катетами $OA=OB=R$. По теореме Пифагора:

$$A{B}^2=R^2+R^2=2R^2,AB=R\sqrt{2}.$$

По условию $R=84\sqrt{2}$, поэтому

$$AB=84\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=84\cdot 2=168.$$

Ответ: $168$.