ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — вписанные тела

Разбор — 1 балл

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту, значит у них общий радиус $r$. По условию высота равна радиусу основания: $h=r$.

Образующая конуса — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $r$ и $h$:

$$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{r^2+r^2}=r\sqrt{2}.$$

Площадь боковой поверхности конуса равна

$$S_{\text{кон}}=\pi rl=\pi r\cdot r\sqrt{2}=\pi r^2\sqrt{2}.$$

По условию $S_{\text{кон}}=3\sqrt{2}$, значит $\pi r^2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$, откуда $\pi r^2=3$.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна

$$S_{\text{цил}}=2\pi rh=2\pi r\cdot r=2\pi r^2=2\cdot 3=6.$$

Ответ: $6$.