ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — объём

Разбор — 1 балл

Пирамида $SABC$ — это часть правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ с тем же основанием-плоскостью и той же вершиной $S.$

Разобьём правильный шестиугольник $ABCDEF$ на 12 одинаковых прямоугольных треугольников. Треугольник $ABC$ состоит из 2 таких треугольников, поэтому его площадь составляет

$$S_{ABC}=\frac{2}{12}{S}_{ABCDEF}=\frac{1}{6}{S}_{ABCDEF},$$

то есть

$$S_{ABCDEF}=6S_{ABC}.$$

Высоты обеих пирамид, опущенные из общей вершины $S$ на плоскость основания, одинаковы — обозначим её $h.$ Объёмы пирамид равны

$$V_{SABC}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot h,V_{SABCDEF}=\frac{1}{3}{S}_{ABCDEF}\cdot h.$$

Подставим $S_{ABCDEF}=6S_{ABC}:$

$$V_{SABCDEF}=\frac{1}{3}\cdot 6S_{ABC}\cdot h=6\cdot \left(\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot h\right)=6V_{SABC}=6\cdot 14=84.$$

Ответ: 84.