В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что AB=6, BC=5, AA₁=4. Найдите объём многогранника, вершинами которого… — 3 задание ЕГЭ профиль

№3 Объём средняя 2024

В прямоугольном параллелепипеде $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ известно, что $A B = 6,$ $B C = 5,$ $A A_{1} = 4.$ Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $A_{1},$ $B_{1} .$

Разбор — 1 балл

В прямоугольном параллелепипеде $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ рассмотрим треугольники $A A_{1} D$ и $B B_{1} C$ : вектор $A B$ переводит точку $A$ в $B$ , точку $A_{1}$ в $B_{1}$ и точку $D$ в $C$ (так как $A B C D$ — прямоугольник), значит эти треугольники равны и лежат в параллельных плоскостях. Поэтому многогранник $A B C D A_{1} B_{1}$ — треугольная призма с основаниями $A A_{1} D$ и $B B_{1} C$ .

Рисунок к решению

Ребро $A B$ перпендикулярно обеим этим плоскостям (так как $A B ⊥ A D$ и $A B ⊥ A A_{1}$ в прямоугольном параллелепипеде), поэтому $A B$ — высота этой призмы.

Треугольник $A A_{1} D$ прямоугольный с катетами $A D = 5$ и $A A_{1} = 4$ (угол при вершине $A$ прямой), его площадь равна

$S_{A A_{1} D} = \frac{1}{2} \cdot A D \cdot A A_{1} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 = 10.$

Объём призмы:

$V = S_{A A_{1} D} \cdot A B = 10 \cdot 6 = 60.$

Ответ: $60$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — объём

Сообщить об ошибке

Ещё задания №3