В прямоугольном параллелепипеде диагональ равна √50 и образует угол… — 3 задание ЕГЭ профиль

№3 Углы в многограннике средняя 2024

В прямоугольном параллелепипеде диагональ равна $50$ и образует угол $4 5^{\circ}$ с гранью, являющейся квадратом. Найдите объём параллелепипеда.

Разбор — 1 балл

Пусть $A B C D$ — грань параллелепипеда, являющаяся квадратом, а $A C_{1}$ — диагональ параллелепипеда, выходящая из вершины $A$ . Так как $C C_{1}$ перпендикулярно плоскости $A B C D$ , отрезок $A C$ — это проекция диагонали $A C_{1}$ на плоскость квадратной грани, а значит угол между диагональю и гранью — это угол $∠ C A C_{1} = 4 5^{\circ}$ .

Рисунок к решению

Треугольник $A C C_{1}$ прямоугольный (катет $C C_{1} ⊥$ плоскости $A B C D$ , значит $C C_{1} ⊥ A C$ ) с гипотенузой $A C_{1}$ и острым углом $4 5^{\circ}$ при вершине $A$ , значит он равнобедренный: $A C = C C_{1}$ . Тогда

$A C = C C_{1} = \frac{A C _{1}}{2} = \frac{50}{2} = 25 = 5.$

Площадь квадрата $A B C D$ через его диагональ $A C$ равна $S_{A B C D} = \frac{A C ^{2}}{2}$ .

Объём параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту $C C_{1}$ :

$V = S_{A B C D} \cdot C C_{1} = \frac{A C ^{2}}{2} \cdot C C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 5 = 62, 5.$

Ответ: $62, 5$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — углы в многограннике

Сообщить об ошибке

Ещё задания №3