ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — вписанные тела

Центр сферы $O$ совпадает с центром основания конуса. Рассмотрим точку $A$ на окружности основания конуса и вершину конуса $B$: тогда $AB$ — образующая конуса, а $OA$ и $OB$ — радиусы сферы.

Так как $OB$ — высота конуса, $OB\perp OA$, и треугольник $AOB$ прямоугольный с катетами $OA=OB=R$. По теореме Пифагора:

$$A{B}^2=R^2+R^2=2R^2.$$

По условию $R=16\sqrt{2}$, поэтому

$$A{B}^2=2\cdot {\left(16\sqrt{2}\right)}^2=2\cdot 512=1024,AB=\sqrt{1024}=32.$$

Ответ: $32$.