Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани… — 3 задание ЕГЭ профиль

№3 Углы в многограннике сложная 2026

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом $6 0^{\circ} .$ Высота пирамиды равна 15. Найдите объём этой пирамиды.

Разбор — 1 балл

Обозначим основание пирамиды $A B C D$ (прямоугольник), а $M$ — точку в плоскости основания, в которую проецируется вершина $S$ , то есть $S M ⊥$ плоскости $A B C D$ и $S M = 15$ . По условию одна боковая грань перпендикулярна основанию: это возможно, только если $M$ лежит на одной из сторон прямоугольника (тогда соответствующая грань, проходящая через эту сторону, содержит перпендикуляр $S M$ и значит сама перпендикулярна основанию). Пусть этой стороной будет $A D$ , то есть $M$ лежит на отрезке $A D$ .

Рассмотрим грань $S A B$ . Так как $A M ⊥ A B$ (отрезок $A M$ лежит на стороне $A D$ , а $A D ⊥ A B$ в прямоугольнике) и $S M ⊥$ основания, по теореме о трёх перпендикулярах $S A ⊥ A B$ . Значит, угол между плоскостью $(S A B)$ и основанием — это угол $∠ S A M$ , и по условию он равен $6 0^{\circ}$ . Из прямоугольного треугольника $S A M$ :

$tg ∠ S A M = \frac{S M}{A M} ⟹ 3 = \frac{15}{A M} ⟹ A M = \frac{15}{3} = 53 .$

Аналогично для грани $S D C$ (сторона $D C$ параллельна $A B$ ): $D M ⊥ D C$ , по теореме о трёх перпендикулярах $S D ⊥ D C$ , угол $∠ S D M = 6 0^{\circ}$ , откуда

$D M = \frac{15}{3} = 53 .$

Так как $M$ лежит на $A D$ между $A$ и $D$ , получаем

$A D = A M + D M = 53 + 53 = 103 .$

Теперь рассмотрим грань $S B C$ . Проведём $M H ⊥ B C$ ( $H$ на прямой $B C$ ); так как $A B ⊥ B C$ и $M$ находится на той же "высоте", что и прямая $A B$ , отрезок $M H$ равен стороне $A B$ . По теореме о трёх перпендикулярах $S H ⊥ B C$ , и угол $∠ S H M$ между плоскостью $(S B C)$ и основанием равен $6 0^{\circ}$ :

$tg ∠ S H M = \frac{S M}{M H} ⟹ 3 = \frac{15}{M H} ⟹ M H = 53 .$

Так как $M H = A B$ , получаем $A B = 53$ .

Площадь основания:

$S_{A B C D} = A B \cdot A D = 53 \cdot 103 = 50 \cdot 3 = 150.$

Объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S M \cdot S_{A B C D} = \frac{1}{3} \cdot 15 \cdot 150 = 750.$

Ответ: $750$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №3 — углы в многограннике

Сообщить об ошибке

Ещё задания №3